حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x y d x + y^{2} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $2 x y d x$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} d y = - 2 x y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y d y = - 2 \frac{1}{y} (x y) d x$

خطوة 3.3

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{y}$ .

$y d y = \frac{- 2}{y} (x y) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$y d y = \frac{- 2}{y} (y x) d x$

خطوة 3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y d y = \frac{- 2}{y} (y x) d x$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y d y = - 2 x d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int - 2 x d x$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 2 x d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 \int x d x$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أعِد كتابة $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

خطوة 4.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 4.3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 4.3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

خطوة 4.3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

خطوة 4.3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{2}$

خطوة 4.3.3.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x^{2} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x^{2} + K$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x^{2} + K)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + K)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + K)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- x^{2} + K)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $2 (- x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- x^{2}) + 2 K$

خطوة 5.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 2 K$

خطوة 5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + 2 K}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 K}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 K}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

خطوة 5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

خطوة 5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

خطوة 5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$