حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - 2]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

خطوة 1.5

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 3 x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x - y]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $3$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 3$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$1 = 3$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $3$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y - 2$ .

$\frac{3 - 1}{y - 2}$

خطوة 4.3.2

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y - 2$ .

$\frac{2}{y - 2}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y - 2} d y}$

خطوة 5.2

لنفترض أن $u = y - 2$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

افترض أن $u = y - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أوجِد مشتقة $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

خطوة 5.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 5.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 5.2.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 5.4

بسّط.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

خطوة 5.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y - 2$ .

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y - 2 |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $2 \ln (| y - 2 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y - 2 |}^{2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y - 2 |}^{2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y - 2 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = {(y - 2)}^{2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة ${(y - 2)}^{2}$ بالصيغة $(y - 2) (y - 2)$ .

$μ (x, y) = (y - 2) (y - 2) + C$

خطوة 5.6.5

وسّع $(y - 2) (y - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$μ (x, y) = y (y - 2) - 2 (y - 2) + C$

خطوة 5.6.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2) + C$

خطوة 5.6.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

خطوة 5.6.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.6.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

خطوة 5.6.6.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

خطوة 5.6.6.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 y - 2 y + 4 + C$

خطوة 5.6.6.2

اطرح $2 y$ من $- 2 y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 4 y + 4 + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$ في عامل التكامل $y^{2} - 4 y + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y - 2$ في $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.2

وسّع $(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$(y \cdot y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$(y^{1} y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(y^{1 + 2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.3.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$(y^{3} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(y^{3} - 4 y \cdot y + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.3.3

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

انقُل $y$ .

$(y^{3} - 4 (y \cdot y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.3.3.2

اضرب $y$ في $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.3.4

انقُل $4$ إلى يسار $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 \cdot y - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.3.5

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.3.6

اضرب $- 2$ في $4$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.4

اطرح $2 y^{2}$ من $- 4 y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 4 y + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.5

أضف $4 y$ و $8 y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $3 x - y$ في $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4) d y = 0$

خطوة 6.7

وسّع $(3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 x (- 4 y) + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 \cdot - 4 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8.2

اضرب $3$ في $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8.3

اضرب $4$ في $3$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8.4

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.4.1

انقُل $y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8.4.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.4.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y^{1}) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{2 + 1} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8.4.3

أضف $2$ و $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y \cdot y - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8.6

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.6.1

انقُل $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 (y \cdot y) - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8.6.2

اضرب $y$ في $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8.7

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.8.8

اضرب $4$ في $- 1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8 d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.3.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 6 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 6 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x (3 y^{2} - 6 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.3.6

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $12 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.3.8

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.3.9

اضرب $2$ في $- 6$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.3.10

اضرب $12$ في $1$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.3.11

أضف $3 y^{2} - 12 y + 12$ و $0$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (3 y^{2}) + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$3 \cdot x y^{2} + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.5.2.2

انقُل $12$ إلى يسار $x$ .

$3 x y^{2} + x (- 12 y) + 12 x + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $3 y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x$

خطوة 12.1.2

أضف $12 x y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y$

خطوة 12.1.3

اطرح $12 x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

خطوة 12.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $3 x y^{2}$ و $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

خطوة 12.1.4.2

اطرح $3 y^{2} x$ من $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 + 12 x y - 12 x$

خطوة 12.1.4.3

أضف $- 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 12 x y - 12 x$

خطوة 12.1.4.4

أضف $- 12 x y$ و $12 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 - 12 x$

خطوة 12.1.4.5

أضف $12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 12 x$

خطوة 12.1.4.6

اطرح $12 x$ من $12 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0$

خطوة 12.1.4.7

أضف $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

خطوة 13.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int - y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

خطوة 13.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

خطوة 13.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

خطوة 13.6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 \int y^{2} d y + \int - 4 y d y$

خطوة 13.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y$

خطوة 13.8

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 \int y d y$

خطوة 13.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 13.10

بسّط.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

خطوة 13.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.11.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 \frac{y^{2}}{2} + C$

خطوة 13.11.2

اجمع $- 4$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 4 y^{2}}{2} + C$

خطوة 13.11.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.11.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2} + C$

خطوة 13.11.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.11.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (1)} + C$

خطوة 13.11.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

خطوة 13.11.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 2 y^{2}}{1} + C$

خطوة 13.11.3.2.4

اقسِم $- 2 y^{2}$ على $1$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$

خطوة 13.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.12.1

أعِد ترتيب الحدود.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4}) + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

خطوة 13.12.2

احذِف الأقواس.

$g (y) = - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

خطوة 15.2

اجمع $y^{4}$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

خطوة 15.3

اجمع $\frac{4}{3}$ و $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$