حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} d x = 3 y^{2} d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$3 y^{2} d y = x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 3 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2.3

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$

خطوة 3.2

بسّط $\sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K}$

خطوة 3.2.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.2.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اجمع $K$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.2.4

انقُل $3$ إلى يسار $K$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

خطوة 3.2.5

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$

خطوة 3.2.6

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

خطوة 3.2.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

خطوة 3.2.7.2

ارفع $\sqrt[3]{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

خطوة 3.2.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.2.7.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

خطوة 3.2.7.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.2.7.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.2.7.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.2.7.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.2.7.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

خطوة 3.2.7.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

خطوة 3.2.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

خطوة 3.2.8.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

خطوة 3.2.9

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$

خطوة 3.2.9.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + K)}}{3}$