حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{y}$ , $y (3) = 4$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- x}{y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- x}{y}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = - x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = - x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int - x d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$

خطوة 5

بما أن $y$ يساوي قيمة موجبة في الشرط الابتدائي $(3, 4)$ ، انظر فقط $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $3$ عن $x$ وبـ $4$ عن $y$ .

$4 = \sqrt{- 3^{2} + K}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{- 3^{2} + K} = 4$ .

$\sqrt{- 3^{2} + K} = 4$

خطوة 6.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{- 3^{2} + K}}^{2} = 4^{2}$

خطوة 6.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{- 3^{2} + K}$ في صورة ${(- 3^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 3^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط ${({(- 3^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(- 3^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 3^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(- 3^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(- 3^{2} + K)}^{1} = 4^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

${(- 1 \cdot 9 + K)}^{1} = 4^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

${(- 9 + K)}^{1} = 4^{2}$

خطوة 6.3.2.1.3

بسّط.

$- 9 + K = 4^{2}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- 9 + K = 16$

خطوة 6.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 16 + 9$

خطوة 6.4.2

أضف $16$ و $9$ .

$K = 25$

خطوة 7

عوّض بـ $25$ عن $K$ في $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $25$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 25}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 5^{2}}$

خطوة 7.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

خطوة 7.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 5$ و $b = x$ .

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$