حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y^{2} \frac{d y}{d x} - x = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ على $x y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ على $x y^{2}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لكتابة $\frac{1}{y^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 1.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x y^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب $\frac{1}{y^{2}}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{y^{2} x}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد ترتيب عوامل $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} + \frac{x}{y^{2} x}$

خطوة 1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{y^{2} x}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{1 + x}{x}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{x y^{2}}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x + \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 x + 3 \ln (| x |) + 3 C$

خطوة 3.3

بسّط $3 \ln (| x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$y^{3} = 3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + C}$