حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

عوّض بقيم ${\displaystyle (3,1)}$ في ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\sqrt{x-y}}$.

بما أنه لا يوجد لوغاريتم به متغير مستقل سالب أو صفري، ولا يوجد جذر زوجي به مجذور صفري أو سالب، ولا يوجد كسر به صفر في القاسم، إذن الدالة متصلة في فترة مفتوحة حول قيمة ${\displaystyle x}$ لـ ${\displaystyle (3,1)}$.

عيّن المشتق الجزئي.

استخدِم ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ لكتابة ${\displaystyle \sqrt{x-y}}$ في صورة ${\displaystyle {(x-y)}^{\frac{1}{2}}}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[f\left(g\left(y\right)\right)\right]}$ هو ${\displaystyle f\prime \left(g\left(y\right)\right)g\prime \left(y\right)}$ حيث ${\displaystyle f\left(y\right)=y^{\frac{1}{2}}}$ و${\displaystyle g\left(y\right)=x-y}$.

لكتابة ${\displaystyle -1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

اجمع ${\displaystyle -1}$ و${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

بسّط بَسْط الكسر.

اجمع الكسور.

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${\displaystyle x-y}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle y}$ هو ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[x\right]+\frac{d}{dy}[-y]}$.

بما أن ${\displaystyle x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى ${\displaystyle y}$، فإن مشتق ${\displaystyle x}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle y}$ هو ${\displaystyle 0}$.

أضف ${\displaystyle 0}$ و${\displaystyle \frac{d}{dy}[-y]}$.

بما أن ${\displaystyle -1}$ عدد ثابت بالنسبة إلى ${\displaystyle y}$، إذن مشتق ${\displaystyle -y}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle y}$ يساوي ${\displaystyle -\frac{d}{dy}\left[y\right]}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ هو ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$ حيث ${\displaystyle n=1}$.

اجمع الكسور.

حوّل الأُسس الكسرية إلى جذور.

عوّض بقيم ${\displaystyle (3,1)}$ في ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{1}{2\sqrt{x-y}}}$.

بما أنه لا يوجد لوغاريتم به متغير مستقل سالب أو صفري، ولا يوجد جذر زوجي به مجذور صفري أو سالب، ولا يوجد كسر به صفر في القاسم، إذن الدالة متصلة في فترة مفتوحة حول قيمة ${\displaystyle y}$ لـ ${\displaystyle (3,1)}$.