حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $\cos (2 y)$ من $2 \cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

خطوة 1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

خطوة 1.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2}$

خطوة 1.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8 e^{4 x}$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2}$

خطوة 1.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 (1)}$

خطوة 1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{4 e^{4 x}}{1}$

خطوة 1.2.2.2.4

اقسِم $4 e^{4 x}$ على $1$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = 4 e^{4 x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\cos (2 y) d y = 4 e^{4 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \cos (2 y) d y = \int 4 e^{4 x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 2 y$ . إذن $d u_{1} = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 2 y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 2.2.1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

خطوة 2.2.2

اجمع $\cos (u_{1})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int 4 e^{4 x} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 y$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{4 x} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 4 x$ . إذن $d u_{2} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 2.3.2.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $4$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.3

اضرب $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.6

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{4 x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) = e^{4 x} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \sin (2 y)) = 2 (e^{4 x} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \sin (2 y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 y)$ .

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (2 y) = 2 (e^{4 x} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (2 y) = 2 e^{4 x} + 2 K$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب $2 e^{4 x}$ و $2 K$ .

$\sin (2 y) = 2 K + 2 e^{4 x}$

خطوة 3.4

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل الجيب.

$2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\arcsin (K + 2 e^{4 x})}{2}$