حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 12 y = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$y'' - 7 y' + 12 y = 0$

خطوة 2

أوجِد $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x})$

خطوة 2.2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 2.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

خطوة 2.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

خطوة 2.3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

خطوة 2.3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

خطوة 2.3.2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

خطوة 2.3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

خطوة 2.3.2.5

اضرب $3$ في $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

خطوة 2.3.2.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

خطوة 2.3.2.7

اضرب $3$ في $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

خطوة 2.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 e^{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$6 e^{3 x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.3.3.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

خطوة 2.3.3.5

اضرب $4$ في $1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \cdot 4)$

خطوة 2.3.3.6

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$6 e^{3 x} - 5 (4 \cdot e^{4 x})$

خطوة 2.3.3.7

اضرب $4$ في $- 5$ .

$6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

خطوة 2.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

خطوة 3

أوجِد $y''$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن المشتق.

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y'' = 6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$y'' = 6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y'' = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

خطوة 3.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

خطوة 3.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

خطوة 3.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$y'' = 6 (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

خطوة 3.3.7

اضرب $3$ في $6$ .

$y'' = 18 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 20 e^{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 3.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 3.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 3.4.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

خطوة 3.4.5

اضرب $4$ في $1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \cdot 4)$

خطوة 3.4.6

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (4 e^{4 x})$

خطوة 3.4.7

اضرب $4$ في $- 20$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 80 e^{4 x}$

خطوة 4

عوّض في المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x}) - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

خطوة 5.1.2

اضرب $6$ في $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

خطوة 5.1.3

اضرب $- 20$ في $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

خطوة 5.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x}) + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

خطوة 5.1.5

اضرب $2$ في $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

خطوة 5.1.6

اضرب $- 5$ في $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

خطوة 5.2

اطرح $42 e^{3 x}$ من $18 e^{3 x}$ .

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

خطوة 5.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أضف $- 24 e^{3 x}$ و $24 e^{3 x}$ .

$0 - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

خطوة 5.3.2

اطرح $80 e^{4 x}$ من $0$ .

$- 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

خطوة 5.4

أضف $- 80 e^{4 x}$ و $140 e^{4 x}$ .

$60 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

خطوة 5.5

اطرح $60 e^{4 x}$ من $60 e^{4 x}$ .

$0 = 0$

خطوة 6

الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ تمثل حلاً لـ $y'' - 7 y' + 12 y = 0$