حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $2 t - 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 t - 1$ خارج التكامل.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

خطوة 3

اقسِم كل حد في $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ على $t$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ على $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

خطوة 3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

خطوة 3.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

خطوة 3.3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

خطوة 3.3.2.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

خطوة 3.3.2.4

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

خطوة 3.3.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

خطوة 3.3.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

خطوة 3.3.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

خطوة 3.3.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

خطوة 3.3.2.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.2.8

جمّع $x^{2} t$ و $- \frac{x^{2}}{2}$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.8.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.2.8.2

لكتابة $t x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.2.8.3

اجمع $t x^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.2.8.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.9.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.9.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $t x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.2.9.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.2.9.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.2.9.2

انقُل $2$ إلى يسار $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.3

لكتابة $6 e^{2 t} t x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

اجمع $6 e^{2 t} t x$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1.1

أخرِج العامل $x$ من $6 e^{2 t} t x \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.5.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (2 t - 1)$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.5.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.5.2

اضرب $2$ في $6$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.5.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.5.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.5.6

بسّط كل حد.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

خطوة 3.3.6

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

خطوة 3.3.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

اجمع $K$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

خطوة 3.3.7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

خطوة 3.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

خطوة 3.3.8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

خطوة 3.3.8.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

خطوة 3.3.8.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

خطوة 3.3.8.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.3.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.3.1.1

انقُل $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

خطوة 3.3.8.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

خطوة 3.3.8.3.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.3.2.1

انقُل $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

خطوة 3.3.8.3.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

خطوة 3.3.8.4

انقُل $2$ إلى يسار $K$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

خطوة 3.3.9

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

خطوة 3.3.10

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

خطوة 3.3.11

اضرب $\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ في $\frac{1}{t}$ .

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$