حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 y (x + 1) d y = x d x$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} (2 y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{1}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

خطوة 2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $y (x + 1)$ .

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

خطوة 2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 y d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{1}{x + 1}$ و $x$ .

$2 y d y = \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 3.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 3.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 3.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 3.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 3.2.3.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم $x$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 3.3.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 3.3.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

خطوة 3.3.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

خطوة 3.3.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

خطوة 3.3.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 3.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 3.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 3.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 3.3.5

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 3.3.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.3.5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.3.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.3.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

خطوة 3.3.7

بسّط.

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

خطوة 3.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y^{2} = x - \ln (| x + 1 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

خطوة 4.2

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

خطوة 4.2.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

خطوة 4.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$