حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + (\cos (θ)) r = \tan (θ)$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $\sin (θ) r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ هو $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ حيث $f (θ) = \sin (θ)$ و $g (θ) = r$ .

$\sin (θ) \frac{d}{d θ} [r] + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d θ} [r]$ بالصيغة $r'$ .

$\sin (θ) r' + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 1.3

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$\sin (θ) r' + r \cos (θ)$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $r'$ التي تساوي $\frac{d r}{d θ}$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r \cos (θ)$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] = \tan (θ)$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] d θ = \int \tan (θ) d θ$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\sin (θ) r = \int \tan (θ) d θ$

خطوة 5

تكامل $\tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ على $\sin (θ)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ على $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $r$ على $1$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

افصِل الكسور.

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

خطوة 6.3.1.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (θ)}$ إلى $\csc (θ)$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

خطوة 6.3.1.3

اقسِم $\ln (| \sec (θ) |)$ على $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

خطوة 6.3.1.4

افصِل الكسور.

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

خطوة 6.3.1.5

حوّل من $\frac{1}{\sin (θ)}$ إلى $\csc (θ)$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \csc (θ)$

خطوة 6.3.1.6

اقسِم $C$ على $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + C \csc (θ)$