حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} e^{y} d x - e^{- 2 y} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $e^{x} e^{y} d x$ من كلا المتعادلين.

$- e^{- 2 y} d y = - e^{x} e^{y} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} (- e^{- 2 y}) d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{e^{y}} e^{- 2 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

خطوة 3.2

اجمع $e^{- 2 y}$ و $\frac{1}{e^{y}}$ .

$- \frac{e^{- 2 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

خطوة 3.3

احذِف العامل المشترك لـ $e^{- 2 y}$ و $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $e^{y}$ من $e^{- 2 y}$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب في $1$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

خطوة 3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{e^{- 3 y}}{1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

خطوة 3.3.2.4

اقسِم $e^{- 3 y}$ على $1$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- e^{- 3 y} d y = - \frac{1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{e^{y}}$ إلى بسط الكسر.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $e^{y}$ من $e^{x} e^{y}$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

خطوة 3.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$- e^{- 3 y} d y = - (e^{x - y} e^{y}) d x$

خطوة 3.6

اضرب $e^{x - y}$ في $e^{y}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x - y + y} d x$

خطوة 3.6.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - y + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

أضف $- y$ و $y$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x + 0} d x$

خطوة 3.6.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.2.2

لنفترض أن $u = - 3 y$ . إذن $d u = - 3 d y$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

افترض أن $u = - 3 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$

خطوة 4.2.2.1.2

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 4.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

خطوة 4.2.2.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.2.3.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \int - \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- - \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.2.5.2

اضرب $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ في $1$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.2.6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.2.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.2.8

بسّط.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.2.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 3 y$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} = - e^{x} + K$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y}) = 3 (- e^{x} + K)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{- 3 y}$ .

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x} + K)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $3 (- e^{x} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x}) + 3 K$

خطوة 5.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$e^{- 3 y} = - 3 e^{x} + 3 K$

خطوة 5.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- 3 y}) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

خطوة 5.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

وسّع $\ln (e^{- 3 y})$ بنقل $- 3 y$ خارج اللوغاريتم.

$- 3 y \ln (e) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

خطوة 5.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- 3 y \cdot 1 = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

خطوة 5.4.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{3}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + K)}{3}$