حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

قسّم الكسر $\frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1.1.2

اطرح $\frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $- \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}) = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد كتابة $- 1 \cos (x)$ بالصيغة $- \cos (x)$ .

$e^{\int - \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

خطوة 2.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{\int - - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

خطوة 2.2.1.3

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$e^{\int - - \cot (x) d x}$

خطوة 2.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{\int 1 \cot (x) d x}$

خطوة 2.2.1.5

اضرب $\cot (x)$ في $1$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (\sin (x))}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sin (x)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $- \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - (- 1 \cos (x)) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

خطوة 3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + 1 \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

خطوة 3.2.4

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = x \sin (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = x \sin (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int x \sin (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\sin (x) y = \int x \sin (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (x)$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

خطوة 7.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

خطوة 7.3.2

اضرب $\int \cos (x) d x$ في $1$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

خطوة 7.4

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

خطوة 7.5

أعِد كتابة $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ بالصيغة $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ على $\sin (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ على $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

افصِل الكسور.

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.2

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$y = \frac{- x}{1} \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.3

اقسِم $- x$ على $1$ .

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.5

افصِل الكسور.

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.6

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \csc (x)$

خطوة 8.3.1.7

اقسِم $C$ على $1$ .

$y = - x \cot (x) + 1 + C \csc (x)$