حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{y} - y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\sqrt{y} - y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{y} - y}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} + x}{\sqrt{y} - y}$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $x^{\frac{1}{2}} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

اضرب في $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{\sqrt{y} - y}$

خطوة 1.2.1.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{1}}{\sqrt{y} - y}$

خطوة 1.2.1.2.3

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $x^{1}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{y} - y}$

خطوة 1.2.1.2.4

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y} - y}$

خطوة 1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} - y}$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $y^{\frac{1}{2}}$ من $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}$

خطوة 1.2.2.2.2

أخرِج العامل $y^{\frac{1}{2}}$ من $- y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.2.2.2.3

أخرِج العامل $y^{\frac{1}{2}}$ من $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.2.3

اضرب $\sqrt{y} - y$ في $\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(\sqrt{y} - y) (x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}}))}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} - y) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.2.4.2

أخرِج العامل $y^{\frac{1}{2}}$ من $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

اضرب في $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.2.4.2.2

أخرِج العامل $y^{\frac{1}{2}}$ من $- y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.2.4.2.3

أخرِج العامل $y^{\frac{1}{2}}$ من $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.2.5

ألغِ العامل المشترك.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.2.6

أعِد كتابة العبارة.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 - y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2.7

ألغِ العامل المشترك.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 - y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2.8

اقسِم $x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})$ على $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.2.9

طبّق خاصية التوزيع.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.10

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.11

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.11.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}$

خطوة 1.2.11.3

أضف $1$ و $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}$

خطوة 1.2.11.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{1}$

خطوة 1.2.12

بسّط $x^{1}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(\sqrt{y} - y) d y = (x^{\frac{1}{2}} + x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \sqrt{y} - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \sqrt{y} d y + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

خطوة 2.2.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int y^{\frac{1}{2}} d y + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} - \int y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{4} + \int x d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + K$