حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2} y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2} y^{2}}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $3 x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2}}$

خطوة 1.3.3

اضرب $1$ في $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} d y = \frac{1}{3 x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3 x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3 x} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (- \frac{1}{3 x} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x}) + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3 x}$ إلى بسط الكسر.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 (x)} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = \frac{- 1}{x} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{3} = - \frac{1}{x} + 3 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لكتابة $3 K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + \frac{3 K x}{x}}$

خطوة 3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$

خطوة 3.4.4

اضرب $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 3.4.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 3.4.5.2

ارفع $\sqrt[3]{x}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 3.4.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.4.5.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

خطوة 3.4.5.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.4.5.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.4.5.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.5.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.5.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

خطوة 3.4.5.5.5

بسّط.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

خطوة 3.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

خطوة 3.4.7

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$

خطوة 3.4.8

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + 3 K x)}}{x}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$