حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(5 - x) e^{y} d x = x y d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$x y d y = (5 - x) e^{y} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x e^{y}}$ .

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x e^{y}$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x (y)) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

خطوة 3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

خطوة 3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{y}} y d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{e^{y}}$ و $y$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $e^{y}$ من $x e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} ((5 - x) e^{y}) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $e^{y}$ من $(5 - x) e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x} (5 - x) d x$

خطوة 3.4

اضرب $\frac{1}{x}$ في $5 - x$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(e^{y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.1.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.1.2.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.4.2

اضرب $\int e^{- y} d y$ في $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.5

لنفترض أن $u = - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

افترض أن $u = - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1.1

أوجِد مشتقة $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 4.2.5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 4.2.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 4.2.5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 4.2.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.8

أعِد كتابة $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ بالصيغة $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.2.10

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} + \frac{- x}{x} d x$

خطوة 4.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

خطوة 4.3.3.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int - 1 d x$

خطوة 4.3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

خطوة 4.3.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 1 d x$

خطوة 4.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) - x + C_{3}$

خطوة 4.3.7

بسّط.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) - x + C_{4}$

خطوة 4.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x + 5 \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = - x + 5 \ln (| x |) + C$