حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب أسلوب برنولي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{2}$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{2}$

خطوة 2

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{- 1}$

خطوة 4

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{- 1}$

خطوة 5

خُذ مشتق $v^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

خُذ مشتق $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

خطوة 5.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 5.4.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 5.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اضرب $v$ في $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 5.4.3.2

اطرح $\frac{d}{d x} [v]$ من $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 5.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

خطوة 6

عوّض بـ $- \frac{v'}{v^{2}}$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{- 1}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$ في $- v^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$ في $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2.1.1.2

أخرِج العامل $v^{2}$ من $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2.1.3

اضرب $\frac{d v}{d x}$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} v^{2} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2.1.5

اضرب $v^{- 1}$ في $v^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.5.1

انقُل $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2.1.5.3

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2.1.6

بسّط $- \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.2.1.7

اجمع $v$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 7.1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

خطوة 7.1.1.3.2

اضرب الأُسس في ${(v^{- 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

خطوة 7.1.1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{- 2} v^{2}$

خطوة 7.1.1.3.3

اضرب $v^{- 2}$ في $v^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1

انقُل $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - (v^{2} v^{- 2})$

خطوة 7.1.1.3.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{2 - 2}$

خطوة 7.1.1.3.3.3

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{0}$

خطوة 7.1.1.3.4

بسّط $- v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - 1$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $v$ من $- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = - 1$

خطوة 7.1.3

أعِد ترتيب $v$ و $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = - 1$

خطوة 7.2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 7.2.2

أوجِد تكامل $- \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 7.2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 7.2.2.3

بسّط.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

خطوة 7.2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (x)}$

خطوة 7.2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

خطوة 7.2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 1}$

خطوة 7.2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 7.3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

خطوة 7.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

خطوة 7.3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

خطوة 7.3.2.3

اجمع $\frac{1}{x}$ و $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

خطوة 7.3.2.4

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.4.1

اضرب $\frac{v}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

خطوة 7.3.2.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

خطوة 7.3.2.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

خطوة 7.3.2.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

خطوة 7.3.2.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

خطوة 7.3.3

اجمع $\frac{1}{x}$ و $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x}$

خطوة 7.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - \frac{1}{x}$

خطوة 7.4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - \frac{1}{x}$

خطوة 7.5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x} v = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x} v = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.7.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} v = - (\ln (| x |) + C)$

خطوة 7.7.3

بسّط.

$\frac{1}{x} v = - \ln (| x |) + C$

خطوة 7.8

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $v$ .

$\frac{v}{x} = - \ln (| x |) + C$

خطوة 7.8.2

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.8.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$v = (- \ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.2.1

بسّط $(- \ln (| x |) + C) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$v = - \ln (| x |) x + C x$

خطوة 7.8.3.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.2.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $- \ln (| x |) x + C x$ .

$v = - x \ln (| x |) + C x$

خطوة 7.8.3.2.1.2.2

أعِد ترتيب $- x \ln (| x |)$ و $C x$ .

$v = C x - x \ln (| x |)$

خطوة 8

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = C x - x \ln (| x |)$