حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y^{2} + 1)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (6 x (y^{2} + 1))$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

خطوة 1.2.2

اجمع $6$ و $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $y^{2} + 1$ من $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 6 x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 6 x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int 6 x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 6 x d x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 6 x d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 6 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$\arctan (y) + C_{1} = 6 \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arctan (y) = 3 x^{2} + K$

خطوة 3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (3 x^{2} + K)$