حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y + 2) d x + (x - 2) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(y + 2) d x$ من كلا المتعادلين.

$(x - 2) d y = - (y + 2) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y + 2$ من $(x - 2) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{x - 2} d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{x - 2} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y + 2$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

خطوة 4.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 4.2.1.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 2} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = x - 2$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = x - 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 4.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 4.3.2.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.3.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.4

بسّط.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x - 2 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \ln (| x - 2 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y + 2 |) + \ln (| x - 2 |) = C$

خطوة 5.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 2 | | x - 2 |) = C$

خطوة 5.3

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (y + 2) (x - 2) |) = C$

خطوة 5.4

وسّع $(y + 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

خطوة 5.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

خطوة 5.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

خطوة 5.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

انقُل $- 2$ إلى يسار $y$ .

$\ln (| y x - 2 \cdot y + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

خطوة 5.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$

خطوة 5.6

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |)} = e^{C}$

خطوة 5.7

أعِد كتابة $\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x - 2 y + 2 x - 4 |$

خطوة 5.8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$ .

$| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$

خطوة 5.8.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y x - 2 y + 2 x - 4 = \pm e^{C}$

خطوة 5.8.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$y x - 2 y - 4 = \pm e^{C} - 2 x$

خطوة 5.8.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y x - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

خطوة 5.8.4

أخرِج العامل $y$ من $y x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$y (x) - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

خطوة 5.8.4.2

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = \pm e^{C} - 2 x + 4$

خطوة 5.8.4.3

أخرِج العامل $y$ من $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$

خطوة 5.8.5

اقسِم كل حد في $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ على $x - 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.5.1

اقسِم كل حد في $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ على $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

خطوة 5.8.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

خطوة 5.8.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

خطوة 5.8.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} - \frac{2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

خطوة 5.8.5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

خطوة 5.8.5.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x + 4}{x - 2}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C - 2 x + 4}{x - 2}$