حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{2} - 3 y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y - x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 3 y - x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $2 y - 3$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - 3]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 2.3

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 2.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 y - 3$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $0$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y - 3 = 0$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 y - 3 = 0$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 y - 3$ .

$\frac{2 y - 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $2 y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $2 y - 3$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{2 y - 3}$

خطوة 4.3.2

أضف $2 y - 3$ و $0$ .

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

خطوة 5.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$ في عامل التكامل $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y^{2} - 3 y - x$ في $e^{x}$ .

$(y^{2} - 3 y - x) e^{x} d x + (2 y - 3) d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $2 y - 3$ في $e^{x}$ .

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) e^{x} d y = 0$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y e^{x} - 3 e^{x}) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} - 3 e^{x} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = 2 y e^{x} - 3 e^{x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y + \int - 3 e^{x} d y$

خطوة 8.2

بما أن $2 e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2 e^{x}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y + \int - 3 e^{x} d y$

خطوة 8.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 3 e^{x} d y$

خطوة 8.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

خطوة 8.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

خطوة 8.6

بسّط.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $e^{x} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

خطوة 11.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

بما أن $- 3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 e^{x} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

خطوة 11.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

خطوة 11.6.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $y^{2} e^{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x}$

خطوة 12.1.2

أضف $3 y e^{x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$

خطوة 12.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

اطرح $y^{2} e^{x}$ من $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 0 + 3 y e^{x}$

خطوة 12.1.3.2

أضف $- 3 y e^{x} - x e^{x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 3 y e^{x}$

خطوة 12.1.3.3

أضف $- 3 y e^{x}$ و $3 y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x} + 0$

خطوة 12.1.3.4

أضف $- x e^{x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- x e^{x}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x e^{x} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x e^{x} d x$

خطوة 13.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int x e^{x} d x$

خطوة 13.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

خطوة 13.5

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - (e^{x} + C))$

خطوة 13.6

بسّط.

$g (x) = - (x e^{x} - e^{x}) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$

خطوة 15

بسّط $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x}) - - e^{x} + C$

خطوة 15.1.2

اضرب $- - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + 1 e^{x} + C$

خطوة 15.1.2.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$

خطوة 15.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} + e^{x} + C$