حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x + 1$ , $y (1) = 8$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

خطوة 1.6

اضرب $y$ في $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x + 1$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x + 1 d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int 4 x + 1 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x y = \int 4 x d x + \int d x$

خطوة 5.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$x y = 4 \int x d x + \int d x$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

خطوة 5.4

طبّق قاعدة الثابت.

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

خطوة 5.5.2

بسّط.

$x y = 2 x^{2} + x + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $x y = 2 x^{2} + x + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $x y = 2 x^{2} + x + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.1.2.5

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$y = 2 x + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 2 x + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 x + 1 + \frac{C}{x}$

خطوة 7

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $8$ عن $y$ في $y = 2 x + 1 + \frac{C}{x}$ .

$8 = 2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1} = 8$ .

$2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1} = 8$

خطوة 8.2

بسّط $2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + 1 + \frac{C}{1} = 8$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$2 + 1 + C = 8$

خطوة 8.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$3 + C = 8$

خطوة 8.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$C = 8 - 3$

خطوة 8.3.2

اطرح $3$ من $8$ .

$C = 5$

خطوة 9

عوّض بـ $5$ عن $C$ في $y = 2 x + 1 + \frac{C}{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $5$ .

$y = 2 x + 1 + \frac{5}{x}$