حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ إلى $\sec^{2} (x)$ .

$y + C_{1} = \int {(1 - \tan (x))}^{5} \sec^{2} (x) d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 1 - \tan (x)$ . إذن $d u = - \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 1 - \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 - \tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

خطوة 2.3.2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$0 - \sec^{2} (x)$

خطوة 2.3.2.1.4

اطرح $\sec^{2} (x)$ من $0$ .

$- \sec^{2} (x)$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int - u^{5} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int u^{5} d u$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - \tan (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + K$