حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$

خطوة 1

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{- 1}$

خطوة 3

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{- 1}$

خطوة 4

خُذ مشتق $v^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ مشتق $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

اضرب $v$ في $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3.2

اطرح $\frac{d}{d x} [v]$ من $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{v'}{v^{2}}$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{- 1}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + x v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d v}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x \frac{1}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

خطوة 6.1.1.1.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

خطوة 6.1.1.2

بسّط $x {(v^{- 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(v^{- 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 1 \cdot 2}$

خطوة 6.1.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 2}$

خطوة 6.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x \frac{1}{v^{2}}$

خطوة 6.1.1.2.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = \frac{x}{v^{2}}$

خطوة 6.1.1.3

اطرح $\frac{x}{v}$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$

خطوة 6.1.1.4

اقسِم كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.1

اقسِم كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.4.2.2

اقسِم $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ على $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \frac{x}{v^{2}}$ بالصيغة $- \frac{x}{v^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.4.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{\frac{x}{v}}{1}$

خطوة 6.1.1.4.3.1.4

اقسِم $\frac{x}{v}$ على $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}$

خطوة 6.1.1.5

اضرب كلا الطرفين في $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

خطوة 6.1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.2.1

بسّط $(- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x}{v^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} v^{2}$

خطوة 6.1.1.6.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.2.1.3.1

أخرِج العامل $v$ من $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

خطوة 6.1.1.6.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

خطوة 6.1.1.6.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = - x + x v$

خطوة 6.1.1.6.2.1.4

بسّط بالإبدال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.6.2.1.4.1

أعِد ترتيب $x$ و $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + v x$

خطوة 6.1.1.6.2.1.4.2

أعِد ترتيب $- x$ و $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x - x$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $x$ من $v x - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v - x$

خطوة 6.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v + x \cdot - 1$

خطوة 6.1.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x v + x \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v - 1)$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} (x (v - 1))$

خطوة 6.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $v - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أخرِج العامل $v - 1$ من $x (v - 1)$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

خطوة 6.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

خطوة 6.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = x$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{v - 1} d v = x d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{v - 1} d v = \int x d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

لنفترض أن $u = v - 1$ . إذن $d u = d v$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

افترض أن $u = v - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d v}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

خطوة 6.2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $v - 1$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

خطوة 6.2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

خطوة 6.2.2.1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

خطوة 6.2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 6.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $v - 1$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 6.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| v - 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

خطوة 6.3.2

أعِد كتابة $\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | v - 1 |$

خطوة 6.3.3

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

خطوة 6.3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

خطوة 6.3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$v - 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

خطوة 6.3.3.4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} + 1$

خطوة 6.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ بالصيغة $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} + 1$

خطوة 6.4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ و $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

خطوة 6.4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

خطوة 7

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$