حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

خطوة 1

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + e^{V}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 3

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + e^{V}$

خطوة 5

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V + e^{V} - V$

خطوة 5.1.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V + e^{V} - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + e^{V}$

خطوة 5.1.1.1.2.2

أضف $0$ و $e^{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$

خطوة 5.1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

خطوة 5.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

خطوة 5.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{e^{V}}{x}$

خطوة 5.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{V}}$ .

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{V}} \cdot \frac{e^{V}}{x}$

خطوة 5.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

اجمع.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

خطوة 5.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

خطوة 5.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 5.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{V}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(e^{V})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{V})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{V \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.1.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $V$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.1.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 V$ بالصيغة $- V$ .

$\int 1 e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.1.2.2

اضرب $e^{- V}$ في $1$ .

$\int e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.2

لنفترض أن $u = - V$ . إذن $d u = - d V$ ، لذا $- d u = d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

افترض أن $u = - V$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $- V$ .

$\frac{d}{d V} [- V]$

خطوة 5.2.2.2.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، إذن مشتق $- V$ بالنسبة إلى $V$ يساوي $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$- \frac{d}{d V} [V]$

خطوة 5.2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 5.2.2.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 5.2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.5

بسّط.

$- e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- V$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 5.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

اقسِم كل حد في $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ على $- 1$ .

$\frac{- e^{- V}}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{e^{- V}}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.3.1.2.2

اقسِم $e^{- V}$ على $1$ .

$e^{- V} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$e^{- V} = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.3.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (| x |)$ بالصيغة $- \ln (| x |)$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.3.1.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

خطوة 5.3.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - C$

خطوة 5.3.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- V}) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

خطوة 5.3.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

وسّع $\ln (e^{- V})$ بنقل $- V$ خارج اللوغاريتم.

$- V \ln (e) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

خطوة 5.3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- V \cdot 1 = \ln (- \ln (| x |) - C)$

خطوة 5.3.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$

خطوة 5.3.4

اقسِم كل حد في $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اقسِم كل حد في $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ على $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

خطوة 5.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{V}{1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

خطوة 5.3.4.2.2

اقسِم $V$ على $1$ .

$V = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

خطوة 5.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$

خطوة 5.3.4.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$ بالصيغة $- \ln (- \ln (| x |) - C)$ .

$V = - \ln (- \ln (| x |) - C)$

خطوة 5.4

بسّط ثابت التكامل.

$V = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 6

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $- \ln (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = - x \ln (- \ln (| x |) + C)$