حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{z + 5}{4 z + 19} d z = d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم $z + 5$ على $4 z + 19$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$4 z$

$19$

$z$

$5$

خطوة 2.3.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $z$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $4 z$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$

خطوة 2.3.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			+	$z$	+	$\frac{19}{4}$

خطوة 2.3.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $z + \frac{19}{4}$

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$

خطوة 2.3.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$
					+	$\frac{1}{4}$

خطوة 2.3.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} d z + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 z + 19} d z$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u = 4 z + 19$ . إذن $d u = 4 d z$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d z$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u = 4 z + 19$ . أوجِد $\frac{d u}{d z}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $4 z + 19$ .

$\frac{d}{d z} [4 z + 19]$

خطوة 2.3.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 z + 19$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$ .

$\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$

خطوة 2.3.5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d z} [4 z]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $4 z$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $4 \frac{d}{d z} [z]$ .

$4 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [19]$

خطوة 2.3.5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [19]$

خطوة 2.3.5.1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d z} [19]$

خطوة 2.3.5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.4.1

بما أن $19$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $19$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$4 + 0$

خطوة 2.3.5.1.4.2

أضف $4$ و $0$ .

$4$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

خطوة 2.3.6.2

انقُل $4$ إلى يسار $u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u} d u$

خطوة 2.3.7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.8.2

اضرب $4$ في $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} (\ln (| u |) + C_{3})$

خطوة 2.3.10

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| u |) + C_{4}$

خطوة 2.3.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 z + 19$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C$