حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ على $x e^{- t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ على $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

خطوة 1.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

خطوة 1.1.2.2.2

اقسِم $\frac{d x}{d t}$ على $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $e^{- t} x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

خطوة 1.4.3

اضرب $t$ في $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{- t}$ وأخرِجها من القاسم.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

خطوة 2.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $- t \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

خطوة 2.3.1.2.2.2

اضرب $t$ في $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

خطوة 2.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ .

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

خطوة 3.4.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

خطوة 3.4.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$