حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3 = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3$ .

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + y + 3 = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + 3 = - y$

خطوة 1.1.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$

خطوة 1.1.3

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ على $\cos (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ على $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

افصِل الكسور.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

خطوة 1.1.3.3.1.3

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

خطوة 1.1.3.3.1.4

اقسِم $y$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - (y \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

خطوة 1.1.3.3.1.5

افصِل الكسور.

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 1.1.3.3.1.6

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \sec (x)$

خطوة 1.1.3.3.1.7

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) - 3 \sec (x)$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $- y \sec (x) - 3 \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $- y \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) - 3 \sec (x)$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $- 3 \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y - 3)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{- y - 3}$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} (\sec (x) (- y - 3))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $- y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $- y - 3$ من $\sec (x) (- y - 3)$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \sec (x)$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{- y - 3} d y = \sec (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{- y - 3} d y = \int \sec (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = - y - 3$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = - y - 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.2.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

خطوة 2.2.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \sec (x) d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y - 3$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

خطوة 2.3

تكامل $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| - y - 3 |) = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| - y - 3 |) - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = C$

خطوة 3.2

أضف $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ إلى كلا المتعادلين.

$- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y - 3 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| - y - 3 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم $\ln (| - y - 3 |)$ على $1$ .

$\ln (| - y - 3 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

خطوة 3.3.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ بالصيغة $- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

خطوة 3.4

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| - y - 3 |) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

خطوة 3.5

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y - 3 | | \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

خطوة 3.6

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (- y - 3) (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

خطوة 3.7

وسّع $(- y - 3) (\sec (x) + \tan (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| - y (\sec (x) + \tan (x)) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

خطوة 3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

خطوة 3.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$

خطوة 3.8

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |)} = e^{- C}$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |$

خطوة 3.10

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$ .

$| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$

خطوة 3.10.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C}$

خطوة 3.10.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.1

أضف $3 \sec (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x)$

خطوة 3.10.3.2

أضف $3 \tan (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$- y \sec (x) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

خطوة 3.10.4

أخرِج العامل $y$ من $- y \sec (x) - y \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.4.1

أخرِج العامل $y$ من $- y \sec (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

خطوة 3.10.4.2

أخرِج العامل $y$ من $- y \tan (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

خطوة 3.10.4.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x))$ .

$y (- 1 \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

خطوة 3.10.5

أعِد كتابة $- 1 \sec (x)$ بالصيغة $- \sec (x)$ .

$y (- \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

خطوة 3.10.6

أعِد كتابة $- 1 \tan (x)$ بالصيغة $- \tan (x)$ .

$y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

خطوة 3.10.7

اقسِم كل حد في $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ على $- \sec (x) - \tan (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.1

اقسِم كل حد في $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ على $- \sec (x) - \tan (x)$ .

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- \sec (x) - \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.3.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sec (x) - \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.3.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3.1.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3.1.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3.1.2

بسّط $\frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sec (x) - \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.3.1.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3.1.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3.1.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sec (x) - \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.3.1.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3.1.5.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))}$

خطوة 3.10.7.3.1.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))}$

خطوة 3.10.7.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3.2

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

خطوة 3.10.7.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$