حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x + y e^{\frac{y}{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{\frac{y}{x}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y e^{\frac{y}{x}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.3

بما أن $\frac{1}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y}{x}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

خطوة 1.3.6

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x}) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

خطوة 1.3.7

اجمع $e^{\frac{y}{x}}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

خطوة 1.3.8

اجمع $y$ و $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

خطوة 1.3.9

اضرب $e^{\frac{y}{x}}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

خطوة 1.4

أضف $0$ و $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - x e^{\frac{y}{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x e^{\frac{y}{x}}]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x e^{\frac{y}{x}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{y}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2 + 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $- 2$ و $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.8.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- 1 \cdot y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.8.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1)$

خطوة 2.10

اضرب $e^{\frac{y}{x}}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

خطوة 2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

خطوة 2.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y))) - e^{\frac{y}{x}}$

خطوة 2.11.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.3.1

اجمع $e^{\frac{y}{x}}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} (- y)) - e^{\frac{y}{x}}$

خطوة 2.11.3.2

اجمع $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ و $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

خطوة 2.11.3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

خطوة 2.11.3.4

اضرب $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

خطوة 2.11.4

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- x e^{\frac{y}{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- x e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - - e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- - e^{\frac{y}{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $e^{\frac{y}{x}}$ في $1$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ من $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{0 + e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

خطوة 4.3.2.4

أضف $0$ و $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

خطوة 4.3.2.5

أضف $e^{\frac{y}{x}}$ و $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{y}{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{- x}$

خطوة 4.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x + y e^{\frac{y}{x}}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $x + y e^{\frac{y}{x}}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $- x e^{\frac{y}{x}}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $x$ من $- x e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 6.5

اجمع $\frac{1}{x}$ و $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

خطوة 6.6

أعِد كتابة $- 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ بالصيغة $- \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

خطوة 8.2

بما أن $\frac{1}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{x}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y)$

خطوة 8.3

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y$

خطوة 8.4

لنفترض أن $u = \frac{y}{x}$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d y$ ، لذا $x d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

افترض أن $u = \frac{y}{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

خطوة 8.4.1.2

بما أن $\frac{1}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y}{x}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 8.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

خطوة 8.4.1.4

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 8.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{x}} d u$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} (1 x) d u$

خطوة 8.5.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} x d u$

خطوة 8.6

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} (x \int e^{u} d u)$

خطوة 8.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

خطوة 8.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

خطوة 8.7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = - 1 \cdot 1 \int e^{u} d u$

خطوة 8.7.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (x, y) = - \int e^{u} d u$

خطوة 8.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$f (x, y) = - (e^{u} + C)$

خطوة 8.9

بسّط.

$f (x, y) = - e^{u} + C$

خطوة 8.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{y}{x}$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}} + g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{\frac{y}{x}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{y}{x}$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{y}{x}$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.3

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{y}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.4

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (e^{\frac{y}{x}} (y (x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.7

اضرب $e^{\frac{y}{x}}$ في $1$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

اجمع $y$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{y}{x}} \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.2.2

اجمع $e^{\frac{y}{x}}$ و $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} - \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - (x + y e^{\frac{y}{x}})}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

اطرح $y e^{\frac{y}{x}}$ من $y e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $- x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

خطوة 12.1.1.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

خطوة 12.1.1.5.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $\frac{1}{x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{1}{x}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 13.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + \ln (| x |) + C$