حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} + u^{4} t^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $u t^{2}$ من $u t^{2} + u^{4} t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $u t^{2}$ من $u t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u^{4} t^{2}}$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $u t^{2}$ من $u^{4} t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})}$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $u t^{2}$ من $u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u^{3})}$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1^{3} + u^{3})}$

خطوة 1.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = 1$ و $b = u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2}))}$

خطوة 1.1.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2}))}$

خطوة 1.1.4.1.2

أعِد كتابة $- 1 u$ بالصيغة $- u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

خطوة 1.1.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $u (1 + u) (1 - u + u^{2})$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.2

اضرب $u$ في $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.3

اضرب $u$ في $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{2}) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.4

وسّع $(u + u^{2}) (1 - u + u^{2})$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $u \cdot u^{2}$ و $u^{2} (- u)$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} u + u^{2} \cdot 1 - u^{2} u + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.5.2

اطرح $u^{2} u$ من $u^{2} u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + 0 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.5.3

أضف $u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1$ و $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

اضرب $u$ في $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.6.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u \cdot u + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.6.3

اضرب $u$ في $u$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.3.1

انقُل $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - (u \cdot u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.6.3.2

اضرب $u$ في $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.6.4

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.6.5

اضرب $u^{2}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.5.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.6.5.2

أضف $2$ و $2$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{4}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.7

جمّع الحدود المتعاكسة في $u - u^{2} + u^{2} + u^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1

أضف $- u^{2}$ و $u^{2}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + 0 + u^{4}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.7.2

أضف $u$ و $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

خطوة 1.4.8

اضرب $\frac{1 + t^{4}}{t^{2}}$ في $\frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{1 + t^{4}}{t^{2} (u (1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

خطوة 1.4.9

احذِف الأقواس.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{1 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.10

اضرب $u + u^{4}$ في $\frac{1 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u + u^{4}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.11.1

أخرِج العامل $u$ من $u + u^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.11.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u^{1} + u^{4}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.11.1.2

أخرِج العامل $u$ من $u^{1}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u^{4}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.11.1.3

أخرِج العامل $u$ من $u^{4}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u \cdot u^{3}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.11.1.4

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 1 + u \cdot u^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u^{3}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.11.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1^{3} + u^{3}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.11.3

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2})) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.11.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.11.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2})) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.11.4.2

أعِد كتابة $- 1 u$ بالصيغة $- u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - u + u^{2})) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.12

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.12.2

أعِد كتابة العبارة.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{((1 + u) (1 - u + u^{2})) (1 + t^{4})}{(t^{2} (1 + u)) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.13

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.13.1

ألغِ العامل المشترك.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 + u) (1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.13.2

أعِد كتابة العبارة.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{(t^{2}) (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.14

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - u + u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.14.1

ألغِ العامل المشترك.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} (1 - u + u^{2})}$

خطوة 1.4.14.2

أعِد كتابة العبارة.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{t^{2}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot 1 (1 - u + u^{2}) + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot 1 (1 - u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.7

أعِد ترتيب $u$ و $1$ .

$\int 1 \cdot u \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.8

انقُل $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.9

أعِد ترتيب $u$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot u (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.10

انقُل $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.11

أعِد ترتيب $u$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.12

انقُل $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot 1 u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.13

أعِد ترتيب $u$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.14

انقُل $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.15

أعِد ترتيب $u$ و $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.16

اضرب $1$ في $1$ .

$\int 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.17

اضرب $u$ في $1$ .

$\int u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.18

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int u - u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.19

أخرِج السالب.

$\int u - (u \cdot u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.20

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u - (u^{1} u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.21

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u - (u^{1} u^{1}) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.22

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u - u^{1 + 1} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.23

أضف $1$ و $1$ .

$\int u - u^{2} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.24

اضرب $u$ في $1$ .

$\int u - u^{2} + u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.25

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{1} u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.26

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u - u^{2} + u^{1 + 2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.27

أضف $1$ و $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.28

اضرب $u$ في $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.29

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.30

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u^{1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.31

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1 + 1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.32

أضف $1$ و $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.33

أخرِج السالب.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u \cdot u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.34

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.35

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u^{1}) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.36

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{1 + 1} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.37

أضف $1$ و $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.38

أخرِج السالب.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.39

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u^{1}) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.40

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2 + 1} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.41

أضف $2$ و $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.42

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.43

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u^{1} u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.44

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1 + 1} u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.45

أضف $1$ و $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2} u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.46

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2 + 2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.47

أضف $2$ و $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.48

أعِد ترتيب $u$ و $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.49

انقُل $u$ .

$\int - u^{2} + u^{3} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.50

أعِد ترتيب $- u^{2}$ و $u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.51

أعِد ترتيب $u^{2}$ و $- u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{2} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.52

انقُل $u^{2}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{4} + u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.53

أعِد ترتيب $- u^{3}$ و $u^{4}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{4} - u^{3} + u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.54

انقُل $u$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u^{4} - u^{3} + u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.55

انقُل $- u^{2}$ .

$\int u^{3} + u^{4} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.56

أعِد ترتيب $u^{3}$ و $u^{4}$ .

$\int u^{4} + u^{3} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.57

اطرح $u^{3}$ من $u^{3}$ .

$\int u^{4} + 0 + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.58

أضف $u^{4}$ و $0$ .

$\int u^{4} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.59

اطرح $u^{2}$ من $u^{2}$ .

$\int u^{4} + 0 + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.60

أضف $u^{4}$ و $0$ .

$\int u^{4} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{4} d u + \int u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \int u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{2} = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

انقُل $t^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (1 + t^{4}) {(t^{2})}^{- 1} d t$

خطوة 2.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (1 + t^{4}) t^{2 \cdot - 1} d t$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (1 + t^{4}) t^{- 2} d t$

خطوة 2.3.2

اضرب $(1 + t^{4}) t^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 1 t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $t^{- 2}$ في $1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $t^{4}$ في $t^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} + t^{4 - 2} d t$

خطوة 2.3.3.2.2

اطرح $2$ من $4$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} + t^{2} d t$

خطوة 2.3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{- 2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - t^{- 1} + C_{4} + \int t^{2} d t$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - t^{- 1} + C_{4} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{5}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - \frac{1}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{t} + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{t} + K$