حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 y t + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t + 1]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y t + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3

بما أن $2 y t$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y t$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $0$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 y = 0$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 y$ .

$\frac{0 - (2 y)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{y^{2}}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{y^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $2 y$ من $0$ .

$\frac{- 2 y}{y^{2}}$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y^{2}}$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

خطوة 4.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

خطوة 4.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{y}$

خطوة 4.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2}$ .

$- \frac{2}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| y |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y^{2}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 d t + (2 y t + 1) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $2 y t + 1$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + (2 y t + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $2 y t + 1$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 1$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.5

أضف $0$ و $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

خطوة 12

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

خطوة 12.3

انقُل $y^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y$

خطوة 12.4

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{2 \cdot - 1} d y$

خطوة 12.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{- 2} d y$

خطوة 12.5

وسّع $(2 y t + 1) y^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y$

خطوة 12.5.2

اضرب $y^{- 2}$ في $1$ .

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + y^{- 2} d y$

خطوة 12.6

اضرب $y$ في $y^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

انقُل $y^{- 2}$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y) t + y^{- 2} d y$

خطوة 12.6.2

اضرب $y^{- 2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y^{1}) t + y^{- 2} d y$

خطوة 12.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$g (y) = \int 2 y^{- 2 + 1} t + y^{- 2} d y$

خطوة 12.6.3

أضف $- 2$ و $1$ .

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t + y^{- 2} d y$

خطوة 12.7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t d y + \int y^{- 2} d y$

خطوة 12.8

بما أن $2 t$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2 t$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 t \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y$

خطوة 12.9

تكامل $y^{- 1}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) + \int y^{- 2} d y$

خطوة 12.10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) - y^{- 1} + C$

خطوة 12.11

بسّط.

$g (y) = 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

خطوة 13

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

خطوة 14

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = x + t \ln ({| y |}^{2}) - \frac{1}{y} + C$

خطوة 14.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$f (x, y) = x + t \ln (y^{2}) - \frac{1}{y} + C$