حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} + y$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\frac{1}{y^{2}} + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

لكتابة $y$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \frac{1}{\frac{1 + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.1.3.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.2.1

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1} y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.1.3.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1 + 2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.1.3.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{3}}{y^{2}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.1.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = 1$ و $b = y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1^{2} - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.1.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.1.3.4.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\int 1 \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})}$ في $1$ .

$\int \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . إذن $d u = 3 y^{2} d y$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y + y^{2})]$

خطوة 2.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = 1 + y$ و $g (y) = 1 - y + y^{2}$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y + y^{2}] + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - y + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 2.2.2.1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 2.2.2.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 2.2.2.1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 2.2.2.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 2.2.2.1.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(1 + y) (- 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 2.2.2.1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 2.2.2.1.3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.2.2.1.3.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.2.2.1.3.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.2.1.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \cdot 1$

خطوة 2.2.2.1.3.12

اضرب $1 - y + y^{2}$ في $1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.4.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$- 1 - 1 \cdot y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$- 1 - y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.4

اضرب $2$ في $1$ .

$- 1 - y + 2 y + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.5

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y) + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.6

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y^{1}) + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{1 + 1} + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.8

أضف $1$ و $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.9

أضف $- y$ و $2 y$ .

$- 1 + y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.10

أضف $- 1$ و $1$ .

$y + 2 y^{2} + 0 - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.11

أضف $y + 2 y^{2}$ و $0$ .

$y + 2 y^{2} - y + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.12

اطرح $y$ من $y$ .

$2 y^{2} + 0 + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.13

أضف $2 y^{2}$ و $0$ .

$2 y^{2} + y^{2}$

خطوة 2.2.2.1.4.4.14

أضف $2 y^{2}$ و $y^{2}$ .

$3 y^{2}$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) = x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

وسّع $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.2

اضرب $- y$ في $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y \cdot y + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.6

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1.6.1

انقُل $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - (y \cdot y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.6.2

اضرب $y$ في $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.7

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1.7.1

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1.7.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1} y^{2} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.7.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1 + 2} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.7.2

أضف $1$ و $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.2.1.1

أضف $- y$ و $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.1.2

أضف $1 + y^{2}$ و $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.1.3

اطرح $y^{2}$ من $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.1.4

أضف $1$ و $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\ln (| 1 + y^{3} |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (x + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 1 + y^{3} |)} = e^{3 x + 3 C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + 3 C} = | 1 + y^{3} |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$ .

$| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C}$

خطوة 3.5.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$

خطوة 3.5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + 3 C} - 1}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + C} - 1}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{3 x + C}$ بالصيغة $e^{3 x} e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x} e^{C} - 1}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{3 x}$ و $e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{C} e^{3 x} - 1}$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \sqrt[3]{C e^{3 x} - 1}$