حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(4 + e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y}$ .

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4 + e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $4 + e^{2 x}$ من $(4 + e^{2 x}) y$ .

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) (y)} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $(4 + e^{2 x}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y (e^{2 x})) d x$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{4 + e^{2 x}} e^{2 x} d x$

خطوة 2.3

اجمع $\frac{1}{4 + e^{2 x}}$ و $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

خطوة 3.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لنفترض أن $u_{2} = 4 + e^{2 x}$ . إذن $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

افترض أن $u_{2} = 4 + e^{2 x}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $4 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{2 x}]$

خطوة 3.3.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 3.3.1.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 3.3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.3.1.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.3.1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.3.1.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

خطوة 3.3.1.1.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

خطوة 3.3.1.1.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

خطوة 3.3.1.1.4

أضف $0$ و $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 3.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 3.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 3.3.4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 3.3.5

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 3.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 + e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C$