حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (x - 1)$ , $y (1) = 6$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 4 \cos (x - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 4 \cos (x - 1) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (x - 1) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (x - 1) d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.3

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = 4 (\sin (u) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + C_{1} = 4 \sin (u) + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$y + C_{1} = 4 \sin (x - 1) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 4 \sin (x - 1) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $6$ عن $y$ في $y = 4 \sin (x - 1) + K$ .

$6 = 4 \sin (1 - 1) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 \sin (1 - 1) + K = 6$ .

$4 \sin (1 - 1) + K = 6$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $4 \sin (1 - 1) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اطرح $1$ من $1$ .

$4 \sin (0) + K = 6$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$4 \cdot 0 + K = 6$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $4$ في $0$ .

$0 + K = 6$

خطوة 4.2.1.3

أضف $0$ و $K$ .

$K = 6$

خطوة 5

عوّض بـ $6$ عن $K$ في $y = 4 \sin (x - 1) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $6$ .

$y = 4 \sin (x - 1) + 6$