حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

خطوة 1

لنفترض أن $v = y^{3}$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $y^{3}$ .

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v}{d x}$ بإيجاد مشتقة $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

خطوة 3

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{x}$ و $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

خطوة 4

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $v$ من $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $v$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

خطوة 5

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 5.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (x)}$

خطوة 5.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x$

خطوة 6

اضرب كل حد في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كل حد في $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

خطوة 6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

خطوة 6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

خطوة 6.3

اضرب $x$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

خطوة 6.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

خطوة 6.3.2

أضف $1$ و $4$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

خطوة 7

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

خطوة 8

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

خطوة 9

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x v = \int x^{5} d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

خطوة 11

اقسِم كل حد في $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اقسِم كل حد في $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ على $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 11.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 11.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{6}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 11.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

خطوة 11.3.1.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 11.3.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 11.3.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

خطوة 11.3.1.1.2.5

اقسِم $\frac{1}{6} x^{5}$ على $1$ .

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

خطوة 11.3.1.2

اجمع $\frac{1}{6}$ و $x^{5}$ .

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $y^{3}$ .

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

خطوة 13.2

بسّط $\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

لكتابة $\frac{x^{5}}{6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

خطوة 13.2.2

لكتابة $\frac{C}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

خطوة 13.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6 x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.3.1

اضرب $\frac{x^{5}}{6}$ في $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

خطوة 13.2.3.2

اضرب $\frac{C}{x}$ في $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

خطوة 13.2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $x \cdot 6$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

خطوة 13.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

خطوة 13.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.5.1

اضرب $x^{5}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.5.1.1

اضرب $x^{5}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.5.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

خطوة 13.2.5.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

خطوة 13.2.5.1.2

أضف $5$ و $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

خطوة 13.2.5.2

انقُل $6$ إلى يسار $C$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

خطوة 13.2.6

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

خطوة 13.2.7

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

خطوة 13.2.8

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.8.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

خطوة 13.2.8.2

ارفع $\sqrt[3]{6 x}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

خطوة 13.2.8.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

خطوة 13.2.8.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

خطوة 13.2.8.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ بالصيغة $6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.8.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{6 x}$ في صورة ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 13.2.8.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 13.2.8.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 13.2.8.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.8.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 13.2.8.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

خطوة 13.2.8.5.5

بسّط.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

خطوة 13.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.9.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

خطوة 13.2.9.2

طبّق قاعدة الضرب على $6 x$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

خطوة 13.2.9.3

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

خطوة 13.2.10

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

خطوة 13.2.11

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

خطوة 14

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$