حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} \cos (4 x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} \cos (4 x)$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} \cos (4 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x^{1}}$

خطوة 1.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} \cos (4 x)}{1}$

خطوة 1.3.2.5

اقسِم $x^{2} \cos (4 x)$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = x^{2} \cos (4 x)$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = x^{2} \cos (4 x)$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = x^{2} \cos (4 x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 2}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{2 y}{x}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

خطوة 3.2.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

خطوة 3.2.5.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

خطوة 3.2.5.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} \cos (4 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (\cos (4 x)))$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \cos (4 x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \cos (4 x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \cos (4 x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (4 x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لنفترض أن $u = 4 x$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

افترض أن $u = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 7.1.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 7.1.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

خطوة 7.2

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

خطوة 7.3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

خطوة 7.4

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

خطوة 7.5

بسّط.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \sin (u) + C$

خطوة 7.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \sin (4 x) + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{4} \sin (4 x) + C$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (4 x)$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \frac{\sin (4 x)}{4} + C$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

خطوة 8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط $(\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\sin (4 x)}{4} x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2

اجمع $\frac{\sin (4 x)}{4}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{\sin (4 x) x^{2}}{4} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.3.1

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sin (4 x) x^{2}}{4} + C x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.3.2

أعِد ترتيب $\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}$ و $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}$