حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{- 3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{- 3}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 3}}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 3}}{x}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 3}}{x}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{- 3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{- 3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x^{1}}$

خطوة 1.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 4}}{1}$

خطوة 1.3.2.5

اقسِم $x^{- 4}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{- 4}$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $y$ من $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = x^{- 4}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{- 4}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{2}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{- 4}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{- 4}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{- 4}$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{- 4}$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{- 4}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{- 4}$

خطوة 3.3

اضرب $x^{2}$ في $x^{- 4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 - 4}$

خطوة 3.3.2

اطرح $4$ من $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{- 2}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$x^{2} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 7.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 7.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x^{2} y = \int x^{- 2} d x$

خطوة 7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$x^{2} y = - x^{- 1} + C$

خطوة 7.3

أعِد كتابة $- x^{- 1} + C$ بالصيغة $- \frac{1}{x} + C$ .

$x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.2

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.2.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2} x^{1}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = - \frac{1}{x^{2 + 1}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.2.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{2}}$