حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 y d x - (2 x + 1) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $3 y d x$ من كلا المتعادلين.

$- (2 x + 1) d y = - 3 y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y} (- (2 x + 1)) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(2 x + 1) y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $2 x + 1$ من $(2 x + 1) y$ .

$\frac{- 1}{(2 x + 1) (y)} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

خطوة 3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{y} d y = - 3 \frac{1}{(2 x + 1) y} y d x$

خطوة 3.5

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{(2 x + 1) y} y d x$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $y$ من $(2 x + 1) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{2 x + 1} d x$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

خطوة 4.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

خطوة 4.3.4

لنفترض أن $u = 2 x + 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

افترض أن $u = 2 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 4.3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.4.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 4.3.4.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 4.3.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 4.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 4.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 3$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 4.3.9

بسّط.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 4.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

اجمع $\ln (| 2 x + 1 |)$ و $\frac{3}{2}$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{\ln (| 2 x + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

خطوة 5.1.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| y |) + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.3

لكتابة $- \ln (| y |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.4

اجمع $- \ln (| y |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (| y |) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 \ln (| y |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.8

أخرِج العامل $- 1$ من $3 \ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

خطوة 5.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

خطوة 5.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

أعِد كتابة $- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ بالصيغة $- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

خطوة 5.10.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.11

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

بسّط $- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$- \frac{\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.11.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$- \frac{\ln (y^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.11.1.1.3

بسّط $- 3 \ln (| 2 x + 1 |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$- \frac{\ln (y^{2}) - \ln ({| 2 x + 1 |}^{3})}{2} = C$

خطوة 5.11.1.1.4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2} = C$

خطوة 5.11.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ .

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})) = C$

خطوة 5.11.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$- \ln ({(\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 5.11.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}}$ .

$- \ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 5.11.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1.5.1

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 5.11.1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1.5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 5.11.1.5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \ln (\frac{y^{1}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 5.11.1.5.2

بسّط.

$- \ln (\frac{y}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 5.11.1.6

اضرب الأُسس في ${({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}}) = C$

خطوة 5.11.1.6.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$

خطوة 5.12

اقسِم كل حد في $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.1

اقسِم كل حد في $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.12.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.12.2.2

اقسِم $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})$ على $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.12.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - 1 \cdot C$

خطوة 5.12.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$

خطوة 5.13

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})} = e^{- C}$

خطوة 5.14

أعِد كتابة $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.15

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.15.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$

خطوة 5.15.2

اضرب كلا الطرفين في ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 5.15.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.15.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.15.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 5.15.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = C {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$