حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 (2 x y + 4 y - 3) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 (2 x y + 4 y - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 x y + 4 y - 3)]$

خطوة 1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 (2 x y + 4 y - 3)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [2 x y + 4 y - 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 x y + 4 y - 3]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y + 4 y - 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

خطوة 1.4

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

خطوة 1.6

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

خطوة 1.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

خطوة 1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3])$

خطوة 1.9

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 + \frac{d}{d y} [- 3])$

خطوة 1.10

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 + 0)$

خطوة 1.11

أضف $2 x + 4$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4)$

خطوة 1.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x) + 2 \cdot 4$

خطوة 1.12.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 2 \cdot 4$

خطوة 1.12.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 8$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = {(x + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${(x + 2)}^{2}$ بالصيغة $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2)]$

خطوة 2.3

وسّع $(x + 2) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2)]$

خطوة 2.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)]$

خطوة 2.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2]$

خطوة 2.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2]$

خطوة 2.4.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2]$

خطوة 2.4.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4]$

خطوة 2.4.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.9

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 + 0$

خطوة 2.11

أضف $2 x + 4$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $4 x + 8$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x + 4$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x + 8 = 2 x + 4$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$4 x + 8 = 2 x + 4$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $4 x + 8$ .

$\frac{4 x + 8 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x + 4$ .

$\frac{4 x + 8 - (2 x + 4)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي ${(x + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{4 x + 8 - (2 x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x + 8 - (2 x) - 1 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{4 x + 8 - 2 x - 1 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{4 x + 8 - 2 x - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $2 x$ من $4 x$ .

$\frac{2 x + 8 - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.5

اطرح $4$ من $8$ .

$\frac{2 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.6

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.6.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.6.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x + 2$ و ${(x + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x + 2$ من $2 (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

أخرِج العامل $x + 2$ من ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{(x + 2) (x + 2)}$

خطوة 4.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{(x + 2) (x + 2)}$

خطوة 4.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{x + 2}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x + 2} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{2}{x + 2} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x + 2} d x}$

خطوة 5.2

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 5.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 5.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 5.2.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 5.4

بسّط.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

خطوة 5.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x + 2 |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $2 \ln (| x + 2 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 2 |}^{2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x + 2 |}^{2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x + 2 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = {(x + 2)}^{2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة ${(x + 2)}^{2}$ بالصيغة $(x + 2) (x + 2)$ .

$μ (x, y) = (x + 2) (x + 2) + C$

خطوة 5.6.5

وسّع $(x + 2) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$μ (x, y) = x (x + 2) + 2 (x + 2) + C$

خطوة 5.6.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$μ (x, y) = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + C$

خطوة 5.6.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$μ (x, y) = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

خطوة 5.6.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.6.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

خطوة 5.6.6.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

خطوة 5.6.6.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + C$

خطوة 5.6.6.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 4 x + 4 + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $2 (2 x y + 4 y - 3) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$ في عامل التكامل $x^{2} + 4 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2 (2 x y + 4 y - 3)$ في $x^{2} + 4 x + 4$ .

$2 (2 x y + 4 y - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 (2 x y) + 2 (4 y) + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$(4 (x y) + 2 (4 y) + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$(4 (x y) + 8 y + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.3.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$(4 (x y) + 8 y - 6) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.4

وسّع $(4 x y + 8 y - 6) (x^{2} + 4 x + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$(4 x y x^{2} + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(4 x^{2 + 1} y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$(4 x^{3} y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

انقُل $x$ .

$(4 x^{3} y + 4 (x \cdot x) y \cdot 4 + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(4 x^{3} y + 4 x^{2} y \cdot 4 + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.3

اضرب $4$ في $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.4

اضرب $4$ في $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 8 \cdot 4 y x + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.6

اضرب $8$ في $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.7

اضرب $4$ في $8$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.8

اضرب $4$ في $- 6$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5.9

اضرب $- 6$ في $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.6

أضف $16 x^{2} y$ و $8 y x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

انقُل $y$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 8 x^{2} y + 16 x y + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.6.2

أضف $16 x^{2} y$ و $8 x^{2} y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 16 x y + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.7

أضف $16 x y$ و $32 y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

انقُل $y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 16 x y + 32 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.7.2

أضف $16 x y$ و $32 x y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.8

اضرب ${(x + 2)}^{2}$ في $x^{2} + 4 x + 4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

خطوة 6.9

أعِد كتابة ${(x + 2)}^{2}$ بالصيغة $(x + 2) (x + 2)$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x + 2) (x + 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

خطوة 6.10

وسّع $(x + 2) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

خطوة 6.10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

خطوة 6.10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

خطوة 6.11

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.11.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

خطوة 6.11.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

خطوة 6.11.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

خطوة 6.11.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

خطوة 6.12

وسّع $(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.13.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.13.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.13.3.1

انقُل $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.13.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.4

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.5

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.13.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 (x^{2} x) + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.5.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.13.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{2 + 1} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.7

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.13.7.1

انقُل $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.7.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.8

اضرب $4$ في $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.9

اضرب $4$ في $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.10

اضرب $4$ في $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.13.11

اضرب $4$ في $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

خطوة 6.14

أضف $4 x^{3}$ و $4 x^{3}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

خطوة 6.15

أضف $4 x^{2}$ و $16 x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 20 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

خطوة 6.16

أضف $20 x^{2}$ و $4 x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 16 x + 16 x + 16) d y = 0$

خطوة 6.17

أضف $16 x$ و $16 x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16 d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$y (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.4

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y (4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.6

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.8

بما أن $32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $32 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.10

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.11

اضرب $3$ في $8$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.12

اضرب $2$ في $24$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.13

اضرب $32$ في $1$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.3.14

أضف $4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32$ و $0$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32) + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y (4 x^{3}) + y (24 x^{2}) + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

انقُل $4$ إلى يسار $y$ .

$4 \cdot y x^{3} + y (24 x^{2}) + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.5.2.2

انقُل $24$ إلى يسار $y$ .

$4 y x^{3} + 24 \cdot y x^{2} + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.5.2.3

انقُل $48$ إلى يسار $y$ .

$4 y x^{3} + 24 y x^{2} + 48 \cdot y x + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.5.2.4

انقُل $32$ إلى يسار $y$ .

$4 y x^{3} + 24 y x^{2} + 48 y x + 32 y + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $4 x^{3} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y$

خطوة 12.1.2

اطرح $24 x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y$

خطوة 12.1.3

اطرح $48 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y$

خطوة 12.1.4

اطرح $32 y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

خطوة 12.1.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.5.1

اطرح $4 x^{3} y$ من $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

خطوة 12.1.5.2

أضف $24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

خطوة 12.1.5.3

اطرح $24 x^{2} y$ من $24 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 48 x y - 32 y$

خطوة 12.1.5.4

أضف $48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 48 x y - 32 y$

خطوة 12.1.5.5

اطرح $48 x y$ من $48 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 32 y$

خطوة 12.1.5.6

أضف $32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 32 y$

خطوة 12.1.5.7

اطرح $32 y$ من $32 y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0$

خطوة 12.1.5.8

أضف $- 6 x^{2} - 24 x - 24$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- 6 x^{2} - 24 x - 24$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 6 x^{2} - 24 x - 24 d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 6 x^{2} - 24 x - 24 d x$

خطوة 13.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (x) = \int - 6 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

خطوة 13.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 6$ خارج التكامل.

$g (x) = - 6 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

خطوة 13.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

خطوة 13.6

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 24$ خارج التكامل.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 \int x d x + \int - 24 d x$

خطوة 13.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 24 d x$

خطوة 13.8

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

خطوة 13.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.9.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

خطوة 13.9.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 24 x + C$

خطوة 13.10

بسّط.

$g (x) = - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$

خطوة 15

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = x^{4} y + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y + 32 x y + 16 y - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$