حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + x) d y - y d x = 0$

خطوة 1

أضف $y d x$ إلى كلا المتعادلين.

$(1 + x) d y = y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1 + x$ من $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x)} y d x$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x)} y d x$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 + x} d x$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لنفترض أن $u = 1 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

افترض أن $u = 1 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 4.3.1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 4.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 + x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x |) = C$

خطوة 5.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x |}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x |})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 + x |}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{| 1 + x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x |} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| 1 + x |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| 1 + x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

خطوة 5.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{C} | 1 + x |$

خطوة 5.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} | 1 + x |$ .

$| y | = | 1 + x | e^{C}$

خطوة 5.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x | e^{C}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm | 1 + x | C$

خطوة 6.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | 1 + x |$