حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ على $x y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ على $x y^{2}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{3}$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x (y^{2})}$

خطوة 1.1.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $f (\frac{y}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{x}{y})}^{2}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{x}{y}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V - {(V^{- 1})}^{2}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - {(V^{- 1})}^{2}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(V^{- 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 1 \cdot 2}$

خطوة 6.1.1.1.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 2}$

خطوة 6.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - \frac{1}{V^{2}}$

خطوة 6.1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V^{2}} - V$

خطوة 6.1.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V - \frac{1}{V^{2}} - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} + 0$

خطوة 6.1.1.2.2.2

أضف $- \frac{1}{V^{2}}$ و $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V^{2}}$

خطوة 6.1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

خطوة 6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

خطوة 6.1.4.2

اجمع.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

خطوة 6.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $V^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.3.1

أخرِج العامل $V^{2}$ من $- V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

خطوة 6.1.4.3.2

أخرِج العامل $V^{2}$ من $x V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

خطوة 6.1.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

خطوة 6.1.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 \cdot 1}{x}$

خطوة 6.1.4.4

اضرب $1$ في $1$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$V^{2} d V = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int V^{2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $V^{2}$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{1}{3} V^{3}$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 6.2.3.3

بسّط.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{3} V^{3} = - \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} V^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $V^{3}$ .

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

بسّط $3 (- \ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

خطوة 6.3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$V^{3} = - 3 \ln (| x |) + 3 C$

خطوة 6.3.3

بسّط $- 3 \ln (| x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$V^{3} = - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

خطوة 6.3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

خطوة 6.4

بسّط ثابت التكامل.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

خطوة 8.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$