حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{3} + y^{3}) d x - 3 x y^{2} d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x^{3} + y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + y^{3}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 1.3

بما أن $x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $3 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - 3 x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

خطوة 2.2

بما أن $- 3 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 y^{2}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 3 y^{2}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = - 3 y^{2}$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 y^{2} = - 3 y^{2}$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - (- 3 y^{2})}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- 3 x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - (- 3 y^{2})}{- 3 x y^{2}}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $3 y^{2} - (- 3 y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 - (- 3 y^{2})}{- 3 x y^{2}}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- (- 3 y^{2})$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- (- 3))}{- 3 x y^{2}}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- (- 3))$ .

$\frac{y^{2} (3 - (- 3))}{- 3 x y^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\frac{y^{2} (3 + 3)}{- 3 x y^{2}}$

خطوة 4.3.2.3

أضف $3$ و $3$ .

$\frac{y^{2} \cdot 6}{- 3 x y^{2}}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} \cdot 6}{- 3 x y^{2}}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6}{- 3 x}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 (2)}{- 3 x}$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x$ .

$\frac{3 (2)}{3 (- x)}$

خطوة 4.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (- x)}$

خطوة 4.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{- x}$

خطوة 4.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x^{3} + y^{3}) d x - 3 x y^{2} d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x^{3} + y^{3}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{2}} d x - 3 x y^{2} d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $x^{3} + y^{3}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x - 3 x y^{2} d y = 0$

خطوة 6.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} d x - 3 x y^{2} d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $- 3 x y^{2}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} d x - 3 x y^{2} \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} d x + x (- 3 y^{2}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} d x + x (- 3 y^{2}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} d x + x (- 3 y^{2}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} d x - 3 y^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 6.6

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} d x + y^{2} \frac{- 3}{x} d y = 0$

خطوة 6.7

اجمع $y^{2}$ و $\frac{- 3}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} d x + \frac{y^{2} \cdot - 3}{x} d y = 0$

خطوة 6.8

انقُل $- 3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} d x + \frac{- 3 \cdot y^{2}}{x} d y = 0$

خطوة 6.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} d x - \frac{3 y^{2}}{x} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{3 y^{2}}{x} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - \frac{3 y^{2}}{x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int \frac{3 y^{2}}{x} d y$

خطوة 8.2

بما أن $\frac{3}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{3}{x}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - (\frac{3}{x} \int y^{2} d y)$

خطوة 8.3

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = - \frac{3}{x} \int y^{2} d y$

خطوة 8.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{3}{x} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

خطوة 8.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أعِد كتابة $- \frac{3}{x} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ بالصيغة $- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 8.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{3}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{3}{3 x} y^{3} + C$

خطوة 8.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = - \frac{3}{3 x} y^{3} + C$

خطوة 8.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y^{3} + C$

خطوة 8.5.2.3

اجمع $y^{3}$ و $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x} + g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{y^{3}}{x} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $- y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{y^{3}}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$- y^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- y^{3} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 11.3.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 y^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 11.3.5

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$y^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{3} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 11.5.2

اجمع $y^{3}$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3}}{x^{2}} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3}}{x^{2}} - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} + (- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

وسّع $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x \cdot x^{2} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (x^{2} x) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (x^{2} x^{1}) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{2 + 1} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - (x \cdot x) (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x^{2} (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.5

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.6

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.6.1

انقُل $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) (- x) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.6.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y^{2} (- x) - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.9

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y \cdot y^{2}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.10

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.10.1

انقُل $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y)}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.10.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.10.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y^{1})}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.10.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{2 + 1}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.10.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.4.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x^{2} y$ و $- y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - x^{2} y + y^{2} x - y^{3}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.4.2

اطرح $x^{2} y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x y^{2} + 0 + y^{2} x - y^{3}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.4.3

أضف $- x^{3} - x y^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.4.4

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $- x y^{2}$ و $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - y^{2} x + y^{2} x - y^{3}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.4.5

أضف $- y^{2} x$ و $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + 0 - y^{3}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.4.6

أضف $- x^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - y^{3}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{3} - x^{3} - y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

اطرح $y^{3}$ من $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} + 0}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $- x^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3}}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- x)}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{1} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2.4

اقسِم $- x$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} - x = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

خطوة 13.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 15

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + \frac{x^{2}}{2} + C$