حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + y^{2} + x y^{2}) d x + (x^{2} y + y + 2 x y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 1 + y^{2} + x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y^{2} + x y^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y^{2} + x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + x (2 y)$

خطوة 1.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 2 x y$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أضف $0$ و $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 2 x y$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} y + y + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + y + 2 x y]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y + y + 2 x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

خطوة 2.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

خطوة 2.4

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y \cdot 1$

خطوة 2.5.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $2 y x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 y$

خطوة 2.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 2 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x y + 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x y + 2 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 2 y = 2 x y + 2 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 x y + 2 y = 2 x y + 2 y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + y^{2} + x y^{2} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 1 + y^{2} + x y^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int d x + \int y^{2} d x + \int x y^{2} d x$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x + C + \int y^{2} d x + \int x y^{2} d x$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + \int x y^{2} d x$

خطوة 5.4

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} \int x d x$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 5.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C)$

خطوة 5.7

بسّط.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.8

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{2} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.4.2

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.4.3

بما أن $\frac{x^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 2 x y + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x y + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.4.5

اجمع $2$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.4.6

اجمع $\frac{2 x^{2}}{2}$ و $y$ .

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.4.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.4.7.2

اقسِم $x^{2} y$ على $1$ .

$0 + 2 x y + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x y + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

أضف $0$ و $2 x y$ .

$2 x y + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 8.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x^{2} y = x^{2} y + y + 2 x y$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y$

خطوة 9.1.2

اطرح $x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y - x^{2} y$

خطوة 9.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y - x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اطرح $2 x y$ من $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 0 - x^{2} y$

خطوة 9.1.3.2

أضف $x^{2} y + y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y - x^{2} y$

خطوة 9.1.3.3

اطرح $x^{2} y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

خطوة 9.1.3.4

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

خطوة 10.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 12

بسّط $f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 12.1.2

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 12.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

خطوة 12.2

أضف $y^{2} x$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $x$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x y^{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

خطوة 12.2.2

لكتابة $x y^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

خطوة 12.2.3

اجمع $x y^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

خطوة 12.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2 + y^{2}}{2} + C$

خطوة 12.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{2} \cdot 2 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2}}{2} + C$

خطوة 12.3.1.2

اضرب في $1$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

خطوة 12.3.1.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

خطوة 12.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

خطوة 12.4

لكتابة $x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

خطوة 12.5

اجمع $x$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

خطوة 12.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2 + y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

خطوة 12.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.7.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot x + y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

خطوة 12.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

خطوة 12.7.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + 2 y^{2} x + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

خطوة 12.7.4

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + 2 y^{2} x + y^{2}}{2} + C$

خطوة 12.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2} + 2 x + 2 y^{2} x + y^{2}}{2} + C$