حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y^{3} d x + (y + 1) e^{- x} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x y^{3} d x$ من كلا المتعادلين.

$(y + 1) e^{- x} d y = - x y^{3} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ .

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} y^{3}$ .

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $(y + 1) e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

خطوة 3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

خطوة 3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{3}} (y + 1) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{y^{3}}$ في $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $y^{3}$ من $e^{- x} y^{3}$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (x y^{3}) d x$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $y^{3}$ من $x y^{3}$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

خطوة 3.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x}} x d x$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{- 1}{e^{- x}}$ و $x$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- x}{e^{- x}} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y + 1}{y^{3}} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

انقُل $y^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (y + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(y^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{3 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int (y + 1) y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.2

اضرب $(y + 1) y^{- 3}$ .

$\int y \cdot y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $y$ في $y^{- 3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

اضرب $y$ في $y^{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int y^{1} y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int y^{1 - 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.3.1.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\int y^{- 2} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $y^{- 3}$ في $1$ .

$\int y^{- 2} + y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y^{- 2} d y + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{2} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.7

بسّط.

$- \frac{1}{y} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.2.8

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

خطوة 4.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اعكِس علامة أُس $e^{- x}$ وأخرِجها من القاسم.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

خطوة 4.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $- x \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{1 x} d x$

خطوة 4.3.2.2.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{x} d x$

خطوة 4.3.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

خطوة 4.3.4

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{4}))$

خطوة 4.3.5

بسّط.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$