حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x^{2} y d x + (y^{4} - x^{3}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$

خطوة 1.2

بما أن $3 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x^{2} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1$

خطوة 1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y^{4} - x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{4} - x^{3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{4} - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.2.2

بما أن $y^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - (3 x^{2})$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 x^{2}$

خطوة 2.4

اطرح $3 x^{2}$ من $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 x^{2}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 3 x^{2}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 x^{2} y$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{3 x^{2} y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 3 x^{2} - 1 \cdot 3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 - 1 \cdot 3 x^{2}}{3 x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 1 \cdot 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)}{3 x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 1 \cdot 3)}{3 x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 3)}{3 x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $3$ من $- 3$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 x^{2} y}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 x^{2} y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 6}{3 y}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 y$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (y)}$

خطوة 4.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

خطوة 4.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{y}$

خطوة 4.3.5

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 x^{2} y$ .

$- \frac{2}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| y |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $3 x^{2} y d x + (y^{4} - x^{3}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3 x^{2} y$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{2} y \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{4} - x^{3}) d y = 0$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $y$ من $3 x^{2} y$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{4} - x^{3}) d y = 0$

خطوة 6.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{4} - x^{3}) d y = 0$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{4} - x^{3}) d y = 0$

خطوة 6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 x^{2} \frac{1}{y} d x + (y^{4} - x^{3}) d y = 0$

خطوة 6.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{y}$ .

$x^{2} \frac{3}{y} d x + (y^{4} - x^{3}) d y = 0$

خطوة 6.4

اجمع $x^{2}$ و $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y} d x + (y^{4} - x^{3}) d y = 0$

خطوة 6.5

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (y^{4} - x^{3}) d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $y^{4} - x^{3}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (y^{4} - x^{3}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7

اضرب $y^{4} - x^{3}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 x^{2}}{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{3 x^{2}}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $\frac{3}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{y}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{3}{y} \int x^{2} d x$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $\frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ بالصيغة $\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اضرب $\frac{3}{y}$ في $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y \cdot 3} x^{3} + C$

خطوة 8.3.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 \cdot y} x^{3} + C$

خطوة 8.3.2.3

اضرب $3$ في $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

خطوة 8.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

خطوة 8.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{3} + C$

خطوة 8.3.2.5

اجمع $\frac{1}{y}$ و $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y} + g (y)] = \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{3}}{y} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x^{3}}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.5.2

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} = \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} - \frac{y^{4} - x^{3}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{3} - (y^{4} - x^{3})}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{3} - y^{4} - - x^{3}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

اضرب $- - x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{3} - y^{4} + 1 x^{3}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2.2

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{3} - y^{4} + x^{3}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- x^{3} - y^{4} + x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

أضف $- x^{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{4} + 0}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $- y^{4}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{4}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $y^{4}$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- y^{2})}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{1} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2.4

اقسِم $- y^{2}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{2} = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $y^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $y^{2}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

خطوة 13.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 15

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + \frac{y^{3}}{3} + C$