حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3) d x - (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.2.2

بما أن $2 x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.4.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + 0$

خطوة 1.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اطرح $2 x y$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2 + 0$

خطوة 1.6.2

أضف $- 2 x y - 2$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} y + 2 x)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (x^{2} y + 2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.4

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot y x + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \cdot 1)$

خطوة 2.9

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2)$

خطوة 2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x) - 1 \cdot 2$

خطوة 2.10.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (y x) - 1 \cdot 2$

خطوة 2.10.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x - 2$

خطوة 2.10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y - 2$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2 x y - 2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 x y - 2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} y + 2 x) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int x^{2} y + 2 x d y$

خطوة 5.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = - (\int x^{2} y d y + \int 2 x d y)$

خطوة 5.3

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - (x^{2} \int y d y + \int 2 x d y)$

خطوة 5.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y)$

خطوة 5.5

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C)$

خطوة 5.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C)$

خطوة 5.7

بسّط.

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + C$

خطوة 5.8

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.2.1.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.3.3

بما أن $\frac{y^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.3.5

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.3.7

اجمع $2$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

$- (\frac{2 y^{2}}{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.3.8

اجمع $\frac{2 y^{2}}{2}$ و $x$ .

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.3.9.2

اقسِم $y^{2} x$ على $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.3.10

اضرب $2$ في $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- (y^{2} x) - (2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- y^{2} x - 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 8.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أضف $y^{2} x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x$

خطوة 9.1.2

أضف $2 y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

خطوة 9.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $- x y^{2}$ و $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - y^{2} x - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

خطوة 9.1.3.2

أضف $- y^{2} x$ و $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 0 + 2 y$

خطوة 9.1.3.3

أضف $2 x^{3} - 2 y + 3$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 2 y$

خطوة 9.1.3.4

أضف $- 2 y$ و $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

خطوة 9.1.3.5

أضف $2 x^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 x^{3} + 3$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

خطوة 10.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

خطوة 10.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

خطوة 10.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

خطوة 10.6

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

خطوة 10.7

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

خطوة 10.8

بسّط.

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

خطوة 10.9

أعِد ترتيب الحدود.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

خطوة 12.1.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - (2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

خطوة 12.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 (x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

خطوة 12.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$