حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2}{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 2}{y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 2}{y}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = (x^{2} + 2) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int x^{2} + 2 d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 2 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 2 d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 2 d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 x + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + 2 x + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (2 x) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $2$ و $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 (2 x) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x + 2 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x + 2 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{2 x^{3}}{3} + 4 x + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 4 x + 2 K}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (2 x) + 2 K}$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (2 x) + 2 K}$

خطوة 3.4.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + 2 x) + 2 K}$

خطوة 3.4.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (\frac{x^{3}}{3} + 2 x) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + 2 x + K)}$

خطوة 3.4.2

لكتابة $2 x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + 2 x \cdot \frac{3}{3} + K)}$

خطوة 3.4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع $2 x$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x \cdot 3}{3} + K)}$

خطوة 3.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3} + 2 x \cdot 3}{3} + K)}$

خطوة 3.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} + 2 x \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 3}{3} + K)}$

خطوة 3.4.4.1.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x \cdot x^{2} + x (2 \cdot 3)}{3} + K)}$

خطوة 3.4.4.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x (2 \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (x^{2} + 2 \cdot 3)}{3} + K)}$

خطوة 3.4.4.2

اضرب $2$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (x^{2} + 6)}{3} + K)}$

خطوة 3.4.5

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (x^{2} + 6)}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

خطوة 3.4.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

اجمع $K$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (x^{2} + 6)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

خطوة 3.4.6.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x (x^{2} + 6) + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 6 + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.7.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot 6 + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.7.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{1 + 2} + x \cdot 6 + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.7.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + x \cdot 6 + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.7.3

انقُل $6$ إلى يسار $x$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 6 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.7.4

انقُل $3$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 6 x + 3 K}{3}}$

خطوة 3.4.8

اجمع $2$ و $\frac{x^{3} + 6 x + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)}{3}}$

خطوة 3.4.9

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.4.10

اضرب $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.4.11

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.1

اضرب $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 3.4.11.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 3.4.11.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 3.4.11.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.11.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 3.4.11.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.11.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.11.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.11.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.11.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 3.4.11.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 3.4.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.12.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 6 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

خطوة 3.4.12.2

اضرب $3$ في $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{3}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{3}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{3}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 6 x + 3 K)}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 6 x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 6 x + K)}}{3}$