حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x} d x - \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $\frac{1}{x} d x$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

خطوة 3.2

اطرح $\ln (| x |)$ من كلا المتعادلين.

$- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم $\ln (| y |)$ على $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

خطوة 3.3.3.1.4

اقسِم $\ln (| x |)$ على $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (| x |)$

خطوة 3.4

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - C$

خطوة 3.5

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$

خطوة 3.6

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- C}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{| x |}$

خطوة 3.8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$

خطوة 3.8.2

اضرب كلا الطرفين في $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

خطوة 3.8.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

خطوة 3.8.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{- C} | x |$

خطوة 3.8.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{- C}$

خطوة 3.8.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{- C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm | x | C$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | x |$