حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 6 x - 3 y$

خطوة 1

أضف $3 y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 6 x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 3 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{3 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{3 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (6 x)$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (6 x)$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 6 x e^{3 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 6 x e^{3 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 6 x e^{3 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{3 x} y = \int 6 x e^{3 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$e^{3 x} y = 6 \int x e^{3 x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 7.3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 7.3.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

خطوة 7.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

خطوة 7.6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

خطوة 7.7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

خطوة 7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

خطوة 7.8.2

اضرب $3$ في $3$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

خطوة 7.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

خطوة 7.10

أعِد كتابة $6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ بالصيغة $6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 7.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

خطوة 7.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

خطوة 7.12.1.2

اجمع $\frac{x}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

خطوة 7.12.1.3

اجمع $e^{3 x}$ و $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 7.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{3 x} y = 6 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 7.12.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$e^{3 x} y = 3 (2) \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 7.12.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 7.12.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 7.12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{3 x}}{9}$ إلى بسط الكسر.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

خطوة 7.12.4.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

خطوة 7.12.4.3

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

خطوة 7.12.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

خطوة 7.12.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 2 \frac{- e^{3 x}}{3} + C$

خطوة 7.12.5

اجمع $2$ و $\frac{- e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{2 (- e^{3 x})}{3} + C$

خطوة 7.12.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{- 2 e^{3 x}}{3} + C$

خطوة 7.12.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

خطوة 7.12.8

لكتابة $2 x e^{3 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

خطوة 7.12.9

اجمع $2 x e^{3 x}$ و $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

خطوة 7.12.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C$

خطوة 7.12.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.11.1

أخرِج العامل $2 e^{3 x}$ من $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.11.1.1

أخرِج العامل $2 e^{3 x}$ من $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C$

خطوة 7.12.11.1.2

أخرِج العامل $2 e^{3 x}$ من $- 2 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C$

خطوة 7.12.11.1.3

أخرِج العامل $2 e^{3 x}$ من $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C$

خطوة 7.12.11.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C$

$e^{3 x} y = \frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C$ على $e^{3 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C$ على $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x) + e^{3 x} \cdot - 1) + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot - 1) + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - 1 \cdot e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.4

أعِد كتابة $- 1 e^{3 x}$ بالصيغة $- e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3 e^{3 x} x$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.7

اجمع $\frac{2}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.8

جمّع $2 e^{3 x} x$ و $- \frac{2 e^{3 x}}{3}$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.8.1

انقُل $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.8.2

لكتابة $2 x e^{3 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.8.3

اجمع $2 x e^{3 x}$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.8.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.9.1

أخرِج العامل $2 e^{3 x}$ من $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.9.1.1

أخرِج العامل $2 e^{3 x}$ من $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.9.1.2

أخرِج العامل $2 e^{3 x}$ من $- 2 e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.9.1.3

أخرِج العامل $2 e^{3 x}$ من $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.2.9.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.3

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C \cdot \frac{3}{3}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

اجمع $C$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + \frac{C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1) + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x) + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.5.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.5.4

اضرب $2$ في $3$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.5.5

انقُل $3$ إلى يسار $C$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.6

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}$ .

$y = \frac{\frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.8

اضرب $\frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}$ في $\frac{1}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3 e^{3 x}}$