حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$6 x (y d) x + (4 y + 9 y^{2}) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $6 x y d x$ من كلا المتعادلين.

$(4 y + 9 y^{2}) d y = - 6 x y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (4 y + 9 y^{2}) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{y}$ في $4 y + 9 y^{2}$ .

$\frac{4 y + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $y$ من $4 y + 9 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $9 y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 4 + y (9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 4 + y (9 y)$ .

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

خطوة 3.3.2

اقسِم $4 + 9 y$ على $1$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(4 + 9 y) d y = - 6 \frac{1}{y} (x y) d x$

خطوة 3.5

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{y}$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (x y) d x$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$(4 + 9 y) d y = - 6 x d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 4 + 9 y d y = \int - 6 x d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 4 d y + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$4 y + C_{1} + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$4 y + C_{1} + 9 \int y d y = \int - 6 x d x$

خطوة 4.2.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y + C_{1} + 9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - 6 x d x$

خطوة 4.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

بسّط.

$4 y + 9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

خطوة 4.2.5.2

اجمع $9$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 y + \frac{9}{2} y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

خطوة 4.2.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \int - 6 x d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 6$ خارج التكامل.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 \int x d x$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

خطوة 4.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أعِد كتابة $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ بالصيغة $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 4.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 4.3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 4.3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

خطوة 4.3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

خطوة 4.3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

خطوة 4.3.3.2.2.2.4

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 3 x^{2} + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{9}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

خطوة 5.2

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $3 x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} = K$

خطوة 5.2.2

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} - K = 0$

خطوة 5.3

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $2$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

خطوة 5.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$9 y^{2} + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

خطوة 5.3.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

خطوة 5.3.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} - 2 K = 0$

خطوة 5.3.3

انقُل $8 y$ .

$9 y^{2} + 6 x^{2} - 2 K + 8 y = 0$

خطوة 5.3.4

أعِد ترتيب $9 y^{2}$ و $6 x^{2}$ .

$6 x^{2} + 9 y^{2} - 2 K + 8 y = 0$

خطوة 5.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 5.5

عوّض بقيم $a = 9$ و $b = 8$ و $c = 6 x^{2} - 2 K$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.2

اضرب $- 4$ في $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 (6 x^{2}) - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.4

اضرب $6$ في $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.5

اضرب $- 2$ في $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.6

أخرِج العامل $8$ من $64 - 216 x^{2} + 72 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.6.1

أخرِج العامل $8$ من $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.6.2

أخرِج العامل $8$ من $- 216 x^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.6.3

أخرِج العامل $8$ من $72 K$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.6.4

أخرِج العامل $8$ من $8 (8) + 8 (- 27 x^{2})$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.6.5

أخرِج العامل $8$ من $8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.7

أعِد كتابة $8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (2) (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 9 K))}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.7.3

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.7.4

أضف الأقواس.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.1.9

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.2

اضرب $2$ في $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$

خطوة 5.6.3

بسّط $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

خطوة 5.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + K)} + 4}{9}$