حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x^{2} y + 2 x) \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $2 x y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 y = - 2 x y^{2}$

خطوة 1.1.2.2

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $2 x \frac{d y}{d x}$ من $2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $2 x \frac{d y}{d x}$ من $2 x^{2} y \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

خطوة 1.1.3.2

أخرِج العامل $2 x \frac{d y}{d x}$ من $2 x \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y^{2} - 2 y$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $2 x \frac{d y}{d x}$ من $2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ على $2 x (x y + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ على $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.2.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

خطوة 1.1.4.3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

خطوة 1.1.4.3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- y}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.2

لكتابة $- \frac{y^{2}}{x y + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x y + 1) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.3.1

اضرب $\frac{y^{2}}{x y + 1}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{(x y + 1) x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(x y + 1) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{x (x y + 1)} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} x - y}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.5

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2} x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.5.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) - y}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.5.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) + y \cdot - 1}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.5.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- y x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x - 1)}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $- y x - 1$ و $x y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1)}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.6.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1 (1))}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y x) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.6.4

أعِد كتابة $- (y x + 1)$ بالصيغة $- 1 (y x + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.6.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.6.6

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

خطوة 1.1.4.3.6.7

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

خطوة 1.1.4.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.7.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

خطوة 1.1.4.3.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

خطوة 3.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

خطوة 3.3

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| y x |) = C$

خطوة 3.4

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\ln (| y x |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

خطوة 3.6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

خطوة 3.6.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

خطوة 3.6.3

اقسِم كل حد في $y x = \pm e^{C}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

اقسِم كل حد في $y x = \pm e^{C}$ على $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

خطوة 3.6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

خطوة 3.6.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C}{x}$